Engrenagem cilíndrica de dentes retos

Engrenagem cilíndrica de dentes retos

Introdução

A engrenagem cilíndrica de dentes retos é a mais comum que existe. Seu estudo é necessário devido a seu empregado generalizado na transmissão de movimento de um eixo a outro em praticamente todas as máquinas que pudermos imaginar. É um dos meios de transmissão de movimento mais antigos e dos mais viáveis. 

Para a sua construção, é necessário considerar uma série de dados, a saber:

-  Número de dentes – Z
-  Diâmetro primitivo - dp
-  Módulo – m
-  Diâmetro externo - de
-  Diâmetro interno - di
-  Altura do dente – h
-  Altura da cabeça – a
-  Altura do pé – b
-  Passo – p

Cálculo do módulo

O módulo (m) de uma engrenagem é a medida que representa a relação entre o diâmetro primitivo (dp) dessa mesma engrenagem e seu número de dentes (Z).

Essa relação é representada matematicamente do seguinte modo:

Dica: Os elementos dessa fórmula podem ser usados também para calcular o diâmetro primitivo da engrenagem 

dp = m · Z.

Servem igualmente para calcular o número de dentes: Z = dp/m.

Com o módulo e o número de dentes determina-se a ferramenta a ser usada para fresar a engrenagem.

O módulo também auxilia nos cálculos para se encontrar todas as outras dimensões da engrenagem já citadas.

Por causa disso, na realidade, é possível calcular o módulo partindo de qualquer medida conhecida da engrenagem a ele relacionada. Por exemplo, você pode calcular o módulo a partir da medida do diâmetro externo e do número de dentes da engrenagem.

Então, vamos voltar ao problema inicial: você juntou os fragmentos da engrenagem e contou o número de dentes: Z = 60. Z

Depois você mediu o diâmetro externo e obteve: de = 124 mm.  

Guarde esses dados para usar daqui a pouco.

Cálculo do diâmetro externo

O diâmetro externo é igual ao diâmetro primitivo (dp) mais duas vezes a altura da cabeça do dente (a) que, por sua vez, é igual a um módulo. Isso é fácil de verificar, se você observar o desenho a seguir.

Matematicamente, isso corresponde a:

Como, para o nosso problema, já temos o valor do diâmetro externo (que é 124 mm), não precisamos calculá-lo.

Para resolver o problema de construção da engrenagem que apresentamos a você, é preciso calcular o módulo a partir das medidas que temos. Vamos então trabalhar essa fórmula de modo que ela nos auxilie a fazer o cálculo de que necessitamos.

Já vimos lá na “Dica” que dp = m · Z. Como não temos um valor numérico para dp, fazemos a substituição dentro da fórmula de cálculo do diâmetro externo (de). Então temos:

de = dp dp + 2 · m dp

de = m m · m Z + 2 · m Z

A partir dessa fórmula, temos finalmente:

Substituindo os valores:

124 = m (60 + 2)

124 = m · 62

m = 124/62

m = 2

Portanto, o módulo da engrenagem que você precisa construir é igual a 2. Observe como usamos a fórmula do diâmetro externo para fazer esse cálculo. Isso pode ser feito usando qualquer dado conhecido relacionado ao módulo.

Cálculo da altura total do dente

A altura total (h) do dente de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos é igual a 2 módulos mais 1

6 de um módulo. O desenho a seguir ilustra esta definição. Observe.

Isso pode ser representado matematicamente:

Voltemos à engrenagem que você tem de fabricar. Já calculamos o valor do

módulo: m = 2. A altura total do dente (h) será:

h = 2,166 · m

h = 2,166 · 2

h = 4,33 mm

Então, a altura do dente da engrenagem deve ser de 4,33 mm.

Dica: A altura total do dente da engrenagem é, também, a soma da altura da cabeça do dente (a) mais a altura do pé do dente (b), ou seja,

Cálculo da altura do pé do dente da engrenagem 

A altura do pé do dente da engrenagem (b) é 1 m +(1/6)m, ou seja:

Vamos então calcular a altura do pé do dente da engrenagem do nosso problema. Já sabemos que o módulo dessa engrenagem é 2. Assim:

b = 1,166 · m

b = 1,166 · 2

b = 2,332 mm

Desse modo, a altura do pé do dente da engrenagem (b) é de 2,332 mm.

Cálculo de diâmetro interno

O diâmetro interno (di) é igual ao diâmetro primitivo (dp) menos 2 vezes a altura do pé do dente (b).

Matematicamente isso é o mesmo que:

Como b é igual a 1,166 · m, podemos escrever:

di = dp - 2 · 1,166 · m

Portanto:

di = dp - 2,33 · m

Como dp = m · Z, também é possível fazer a substituição:

di = m m · m Z Z - 2,33 · m

Reescrevendo, temos:

di = m (Z - 2,33)

Substituindo os valores da engrenagem que você precisa construir, temos:

di = 2(60 - 2,33)

di = 2 · 57,67

di = 115,34 mm

Cálculo do passo

O passo é a medida do arco da circunferência do diâmetro primitivo que corresponde a um dente e a um vão da engrenagem.

Ele é calculado a partir do perímetro da circunferência do diâmetro primitivo (dp · p) dividido pelo número de dentes da engrenagem, porque o número de dentes corresponde ao número de passos. Matematicamente isso dá:

Como dp = m · Z, podemos escrever:

Como Z dividido por Z  é igual a 1, teremos

Assim, para calcular o passo, empregamos a fórmula p = m · p = m · p. Com ela, vamos calcular o passo da engrenagem que você tem de construir:

p = 2 · 3,14

p = 6,28 mm

Portanto, o passo dessa engrenagem é 6,28 mm.

Cálculo da distância entre eixos

Uma engrenagem jamais trabalha sozinha. Tendo isso em mente, dá para perceber que, além das medidas que já calculamos, precisamos conhecer também a distância entre os centros dos eixos que apóiam as engrenagens. Essa medida se baseia no ponto de contato entre as engrenagens.

Esse ponto está localizado na tangente das circunferências que correspondem aos diâmetros primitivos das engrenagens.

Assim, a distância entre os centros (d) é igual à metade do diâmetro primitivo da primeira engrenagem (dp1/2) mais a metade do diâmetro primitivo da segunda engrenagem (dp2/2).

Na máquina sob manutenção de nosso problema inicial, a engrenagem 1 tem o diâmetro primitivo de 120 mm (já dado) e o dp da engrenagem 2 tem 60 mm. Substituindo os valores, podemos calcular:

Referências bibliográficas

- Engrenagem cilíndrica de dentes retos Disponível em: 
<http://www.industriahoje.com.br/wp-content/uploads/downloads/2013/04/apostila-12-Calculando-engrenagens-cilindricas.pdf>.
- Telecurso 2000 - Aula 12 de Cálculo Técnico: